Cong ty Cong Nghe Tin hoc Nha truong http://www.vnschool.net
Tìm hiểu sâu hơn về định lý Pitago: các cách biểu diễn và chứng minh
05/08/2007

Bài 2: Một số cơ sở hình thành cách chứng minh định lý


1. Các diện tích hình vuông trên khung lưới


Đây là cách tính các diện tích của các hình vuông trên một khung lưới hình ô vuông, bao gồm cả những hình vuông “nghiêng”(như hình vuông màu vàng trên hình bên) . Các chiến lược mà bạn dùng để khai triển cho việc tính toán diện tích các hình vuông nghiêng này có thể là một cách mới để chứng minh định lý Pitago.

Dựng hình và kiểm tra

1. Bạn hãy mở file Sketch Squarefinder.gps.
2. Di chuyển điểm A hoặc B để thay đổi góc nghiêng của hình vuông này so với khung lưới.
Chú ý: khi hình vuông màu vàng bị nghiêng đi 1 góc so với lưới, thì sẽ có một hình vuông lớn hơn hình nét đứt bao quanh nó (như hình trên). Độ dài đoạn AB có thể là 1 số nguyên hoặc không phải là một số nguyên.
3. Bây giờ bạn hãy kéo điểm A hoặc điểm B để làm cho diện tích của hình vuông là khoảng 5 đơn vị vuông. Khi bạn khá chắc chắn về diện tích hình vuông của mình vừa thay đổi, hãy kích chuột vào nút Show Area Yellow Square trên màn hình để kiểm tra xem sự thay đổi của bạn chính xác đến đâu. Nếu diện tích hình vuông của bạn chưa chính xác, thì bạn kích chuột vào nút Hide Area Yellow Square và thử làm lại.
(Hình vuông có diện tích bằng 5 thì có độ dài của cạnh là căn bậc hai của 5. Tính toán này trong Sketch chỉ là một phép tính xấp xỉ : ≈ 2.24)
Tìm hiểu thêm
1.
– Bạn viết một biểu thức tính diện tích hình vuông nghiêng theo 2 số hạng a và b.


- Gọi độ dài cạnh của hình vuông đó là c, và hãy viết lại biểu thức đó theo 3 số hạng a, b, c.
- Làm tối giản biểu thức này.
- So sánh xem hai biểu thức này có bằng nhau hay không?
2. Có một số hình vuông nghiêng có độ dài cạnh là 1 số nguyên. Hãy tìm một số hình như thế
3. Có thể tạo được hình vuông nghiêng trên khung lưới có diện tích bằng 3 không?
4. Liệu có thể tạo ra 1 hình vuông trên khung lưới có diện tích không phải là một số nguyên không? Hãy giả thích.

2. Những trường hợp khó lý giải trong chứng minh định lý pitago bằng hình ảnh


- Có một số cách thể hiện việc chứng minh định lý Pitago bằng hình ảnh thì khó lý giải .Trong các cách chứng mình này- được gọi cách “cắt ra từng mảnh”, bạn sẽ bắt đầu từ một hình ảnh có các mảnh rời rạc, chúng là các mảnh được khớp lại với nhau theo 1 vế của định lý Pitago (như a²+b²). Bạn sẽ cắt các mảnh đó ra và sắp xếp lại chúng theo một vế khác của định lý (là c² ).
- Việc sắp xếp các mảnh rời rạc này thì đơn giản, nhưng chưa đủ để chứng minh được định lý. Tuy nhiên, các cách làm này này có thể dẫn đến các cách chứng minh định lý nếu bạn có thể lý giải được tại sao lại làm như vậy.
Cách dựng hình và kiểm tra
- Mở file Pythgorean Puzzles.gsp . Xem các cách biểu diễn sau:
1. Hãy viết 2 biểu thức khác nhau để tính diện tích của một hình vuông có
độ dài cạnh là a+b như hình bên dưới:
+ Một biểu thức biểu diễn theo 2 số hạng a và b:
dt = (a+b)² =a² + b² - 2ab (1)
+ Một biểu thức khác viết theo 3 số hạng a,b,c, ta thấy: diện tích hình vuông này bằng diện tích hình vuông màu trắng (có cạnh là c) + diện tích của 4 tam giác vuông , nên suy ra:
dt = c² + 2ab (2).
Từ (1) và (2) ta có dt = c² + 2ab = a² + b² - 2ab.
Thu gọn đẳng thức trên ta được c² = a² + b².
Theo hình vẽ ta thấy rằng c là cạnh huyền của tam giác vuông, a,b là hai cạnh của tam giác vuông đó. Vậy đây cũng là một cách để chứng minh định lý Pitago.

2. Một biểu thức tính được diện tích hình vuông có cạnh là c :
dt = c² . (3).
- Viết một biểu thức khác tính diện tích hình vuông này theo hai số hạng


a, b: Theo hình vẽ ta thấy
dt = diện tích hình vuông màu vàng + diện tích của 4 tam giácvuông :
↔ dt = (b-a)² + 2ab= a² + b² (4)
Từ (3) và (4) ta có đẳng thức sau :
dt = c² = a² +b²
Mà theo hình vẽ trên ta có c, là cạnh huyền của tam giác vuông, a,b là độ dài hai cạnh bên của tam giác vuông đó. Do đó dây cũng là 1 cách để chứng minh định lý Pitago

3. Cách tạo công cụ Translator


- Một cách thông thường để chứng minh định lý Pitago là cắt các miếng của các hình vuông trên các cạnh bên ra và sắp xếp lại cho khớp với hình vuông trên cạnh huyền.
- Trong phần này, bạn sẽ tạo ra được một công cụ theo ý mình (Custom tool), công cụ này cho phép bạn làm được những việc giống như menu Transform, nhưng thuận tiện hơn: sử dụng công cụ này để tạo các bản sao của 1 hình, và bản sao này có thể di chuyển trượt theo hình ban đầu. Công cụ có tên là Translator
Cách dựng.


1. Vẽ một tứ giác ABCD tùy ý và miền trong của nó.
2. Vẽ điểm E tại một khoảng trống bất kỳ trên trang. Điểm này là điểm bạn đặt vị trí copy tứ giác.
3. Chọn (đánh dấu) điểm B và điểm E và chọn menu Transform| Mark Vector
4. Kích chuột vào tứ giác để đánh dấu miền trongcủa tứ giác, sau đó chọn menu Transform| Translate để tạo được bản sao của tứ giác ABCD theo phương của vectơ được đánh dấu (vectơ BE).
5. Kéo điểm E để bản sao tứ giác vừa tạo di chuyển đến vị trí mong muốn.
6. Kéo 1 đỉnh bất kỳ trong tứ giác ABCD để hình dạng của tứ giác thay đổi thì ta thấy hình dạng của tứ giác bản sao cũng thay đổi theo.
Các bước xây dựng công cụ Translator
1. Chọn miền trong của tứ giác ban đầu, chọn điểm B, điểm E và miền trong của tứ giác bản sao có E là đỉnh .
Nhấn và giữ biểu tượng công cụ Custom
và chọn Creat New Tool từ menu Custom.
Xuất hiện 1 hộp thoại, bạn hãy gõ tên công cụ mới là Translator, và nhấn ok. Như vậy là bạn đã tạo ra được công cụ Translator để vẽ các bản sao từ một hình ban đầu, và bản sao này có thể di chuyển tự do trên trang Sketch.
2. Bây giờ hãy thử thực hành công cụ Translator vừa tạo: Kích vào 1 miền trong của tứ giác bạn muốn di chuyển. sau đó kích vào 1 đỉnh của tứ giác đó; Giữ và kéo chuột đến vị trí mong muốn và kích chuột lần thứ ba, và bây giờ bạn có thể cho hình này di chuyển tự do theo đỉnh của nó.
3. Việc xây dựng công cụ này sẽ hữu ích trong chứng minh đinh lý Pitago(tạo các bản sao chuyển động được)

4. Một cách chia hình thành các mảnh rời rạc


Một cách để chứng minh định lý Pitago đó là cắt hình vuông trên các cạnh bên thành các mảnh phân biệt , sau sắp xếplại chúng thành hình vuông trên cạnh huyền.
Dựng hình và kiểm tra


1. Dựng một tam giác vuông
và các hình vuông trên các
cạnh của nó.
2. Vẽ tâm của hình vuông trên
cạnh bên b (là cạnh lớn hơn)
3. Dựng 1 đường thẳng đi qua tâm này và song song với cạnh c và một đường thẳng khác vuông góc với cạnh c.
4. Vẽ các giao của hai đường thắng này với hình vuông trên cạnh b.


Như vậy 2 đường thẳng này đã chia hình vuông trên cạnh b thành 4 tứ giác. Bạn hãy vẽ và tô các màu khác nhau cho 4 tứgiác này.

5. Làm ẩn 2 đường thẳng này đi
6. Vẽ và tô màu miền trong của hình vuông trên cạnh a (là cạnh nhỏ nhất).
Như vậy ta có 4 miếng được tạo từ hình vuông trên cạnh b. kết hợp với 1 mảnh từ hình vuông trên cạnh a, 5 mảnh này có thể ghép lại thành hình vuông trên cạnh c bằng cách di chuyển và sắp xếp lại chúng.


7. Để tạo ra được các mảnh hình di chuyển được của hình vuông trên cạnh a, Sử dụng công cụ Translator từ menu Custom tool.
8. Tạo ra các bản sao của các mảnh tứ giác của hình vuông trên cạnh b bằng cách sử dụng công cụ Translator từ menu công cụ Custom.
9. Hãy sặp xếp các bản sao vủa tạo được vào hình vuông màu trắng( hình vuông có canh là c)

10. Để xác định lại cách chia này bạn hãy thử làm lại với một tam giác vuông khác.
Viết Thị Thu Hiền, hiendhsp@yahoo.com
URL của bài viết này::http://www.vnschool.net/modules.php?name=News&file=article&sid=1180
© Cong ty Cong Nghe Tin hoc Nha truong contact: sales@schoolnet.vn